Ângulos formados por duas retas paralelas com um transversal

Ângulos formados por duas retas paralelas com um transversal

Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum.

Vamos observar a figura abaixo:

Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado)

A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180°.

Ângulos colaterais externos:

A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180°.

A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180°.

Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes)

Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais)

Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais)

Ângulos alternos externos:

Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais)

Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais)

Ângulos correspondentes:

São ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na região interna e o outro na região externa.

Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais)

os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais)

os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais)

os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais)

Exercícios Resolvidos

1. Determine o valor de x nas figuras abaixo:

x = 40° São ângulos correspondentes.

x + 20° = 180° x = 180° - 20° x = 160° O ângulo x é igual ao ângulo que se forma abaixo do ãngulo de 20°, logo a soma dos dois é igual a 180°.

2. Determine m, n e r na figura abaixo:

m = 84° São ângulos opostos pelo vértice. r = 84° São ângulos correspondentes. r + n = 180° São ângulos suplementares a soma é igual a 180° 84° + n = 180° (substituimos r por 84°) n = 180° - 84° n = 96°

3. Sendo m // n, determine o valor de a em graus na figura seguinte: ( // Paralelas)

Os ângulos são concorrentes, logo são ângulos iguais. 3b - 11° = 2b + 6° 3b - 2b = 6° + 11° b = 17° Os ângulos são suplementares, logo a soma entre eles é igual a 180°. a + (2b + 6°) = 180° a + 2b + 6° = 180° a + 2(17°) + 6° = 180°(substituimos b por 17°) a + 34° + 6° = 180° a + 40° = 180° a = 180° - 40° a = 140° Exercícios Para resolver exercícios sobre retas paralelas cortadas por uma transversal, é necessário dominar a teoria acima, ou seja, saber quais são os ângulos correspondentes, colaterais internos, colaterais externos, alternos internos, alternos externos. ângulos correspondentes: são iguais; ângulos alternos: são iguais; ângulos colaterais: são suplementares. Questão 1 Na imagem a seguir, as retas u, r e s são paralelas e cortadas por uma reta t transversal. Determine o valor dos ângulos x e y. Retas u, r e s paralelas e interceptadas por uma reta t transversal Questão 2 Sabendo que as retas r e s são paralelas e interceptadas por uma reta transversal t, determine o valor de x: Reta r e s paralelas e interceptadas por uma reta transversal Questão 3 (FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é: Reta r e s paralelas e interceptadas por retas t e u transversais a) 100° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150° Questão 4 (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é: a) 40° b) 58° c) 80° d) 116° e) 150° Questão 5. Classifique as sentenças a seguir como verdadeiras ou falsas: ( ) Os ângulos correspondentes são suplementares. ( ) Os ângulos alternos internos são congruentes. ( ) Os ângulos alternos externos são complementares. ( ) Os ângulos colaterais internos são congruentes. ( ) Os ângulos colaterais externos são suplementares.   Questão 6. Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então a afirmativa falsa é: a) Os ângulos colaterais internos são congruentes. b) Os ângulos correspondentes são congruentes. c) Os ângulos alternos internos são congruentes. d) Os ângulos alternos externos são congruentes. e) Os ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Questão 7. Duas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos em que a medida de um deles é a quarta parte da medida do outro. Quanto mede cada ângulo obtuso formado pelas paralelas com a transversal? a) 95º b) 108º c) 120º d) 135º e) 144º Questão 8. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal, determinam dois ângulos colaterais internos, em que a medida de um deles é o triplo da medida do outro. A diferença entre as medidas dos ângulos obtuso e agudo é igual a: a) 45º b) 60º c) 75º d) 80º e) 90º Questão 9. Uma reta transversal corta duas paralelas formando ângulos correspondentes cujas medidas são expressas por (5x – 48º) e       (3x + 12º). A medida de cada ângulo agudo formado é igual a: a) 83º b) 78º c) 72º d) 65º e) 54º Questão 10. A soma dos quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal é igual a 80o. Nestas condições, podemos concluir que cada ângulo obtuso mede: a) 150º b) 155º c) 160º d) 165º e) 170º

Potenciação

Potenciação    

·         

resposta

Propriedades de potência e exercícios

Primeira propriedade: Multiplicação de potências de mesma base

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

exemplos

3² x 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷

Conservamos a base e somamos os expoentes.

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência

a) 4³ x 4 ²=

b) 7⁴ x 7⁵ =

c) 2⁶ x 2²=

d) 6³ x 6 =

e) 3⁷ x 3² =

f) 9³ x 9 =

g) 5 x 5² =

h) 7 x 7⁴ =

i) 6 x 6 =

j) 3 x 3 =

l) 9² x 9⁴x 9 =

m) 4 x 4² x 4 =

n) 4 x 4 x 4=

0) m⁰ x m x m³ =

p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 =

2) Reduza a uma só potência:

a) 7² x 7⁶ =

b) 2² x 2⁴=

c) 5 x 5³ =

d) 8² x 8 =

e) 3⁰ x 3⁰ =

f) 4³ x 4 x 4² =

g) a² x a² x a² =

h) m x m x m² =

i) x⁸ . x . x =

j) m . m . m =

Segunda Propriedade: Divisão de Potência de mesma base

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplo

a) 8⁹: 8² = 8⁹⁻² = 8⁷

b) 5⁴ : 5 = 5⁴⁻¹ = 5³

Conservamos a base e subtraímos os expoentes

3) Reduza a uma só potência

a) 5⁴ : 5² =

b) 8⁷ : 8³ =

c) 9⁵ : 9² =

d) 4³ : 4² =

e) 9⁶ : 9³ =

f) 9⁵ : 9 =

g) 5⁴ : 5³ =

h) 6⁶ : 6 =

i) a⁵ : a³ =

j) m² : m =

k) x⁸ : x =

l) a⁷ : a⁶ =

4) Reduza a uma só potência:

a) 2⁵ : 2³ =

b) 7⁸ : 7³=

c) 9⁴ : 9 =

d) 5⁹ : 5³ =

e) 8⁴ : 8⁰ =

f) 7⁰ : 7⁰ =

Terceira Propriedade: Potência de Potência

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(7²)³ = 7²΄³ = 7⁶

Conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

5) Reduza a uma só potência:

a) (5⁴)²

b) (7²)⁴

c) (3²)⁵

d) (4³)²

e) (9⁴)⁴

f) (5²)⁷

g) (6³)⁵

h) (a²)³

i) (m³)⁴

j) (m³)⁴

k) (x⁵)²

l) (a³)⁰

m) (x⁵)⁰

6) Reduza a uma só potência:

a) (7²)³ =

b) (4⁴)⁵ =

c) (8³)⁵ =

d) (2⁷)³ =

e) (a²)³ =

f) (m³)⁴ =

g) (a⁴)⁴ =

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO

Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem :

1°) Potenciação

2°) Multiplicações e divisões

3°) Adições e Subtrações

EXEMPLOS

1) exemplo

  5 + 3² x 2 =

= 5 + 9 x 2 =

= 5 + 18 =

= 23

2) exemplo

7² - 4 x 2 + 3 =

= 49 – 8 + 3 =

= 41 + 3 =

= 44

Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem:

1°) parênteses ( )

2°) colchetes [ ]

3°) chaves { }

exemplos

1°) exemplo

  40 – [5² + ( 2³ - 7 )] =

= 40 – [5² + ( 8 - 7 )]

= 40 – [25 + 1 ]=

= 40 – 26 =

= 14

2°) exemplo

  50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] } =

= 50 –{ 15 + [ 16 : 8 + 10 ]}=

= 50 – { 15 + [ 2 + 10 ] } =

= 50 – { 15 +12 } =

= 50 – 27 =

= 23

Exercícios

7) Calcule o valor das expressões:

a) 7² - 4 =

b) 2³ + 10 =

c) 5² - 6 =

d) 4² + 7⁰=

e) 5⁰+ 5³=

f) 2³+ 2⁴ =

g) 10³ - 10² =

h) 80¹ + 1⁸⁰ =

i) 5² - 3² =

j) 1⁸⁰ + 0⁷⁰ =

8) Calcule

a) 3² + 5 =

b) 3 + 5² =

c) 3² + 5² =

d) 5² - 3² =

e) 18 - 7⁰ =

f) 5³ - 2² =

g) 10 + 10² =

h) 10³ - 10² =

i) 10³ - 1¹ =

9) Calcule o valor das expressões

a) 2³ x 5 + 3² =

b) 70⁰+ 0⁷⁰ - 1 =

c) 3 x 7¹ - 4 x 5⁰ =

d) 3⁴- 2⁴: 8 – 3 x 4 =

e) 5² + 3 x 2 – 4 =

f) 5 x 2² + 3 – 8 =

g) 5² - 3 x 2² - 1 =

10) calcule o valor das expressões:

a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R: 13)

b) (3 +1)² +2 x 5 - 10⁰ = (R: 25)

c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R: 15)

d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R: 56)

e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R: 11)

f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R: 9)

g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R: 32)

h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R: 26)

Desafios:

• Questão 1

Reduza a uma potência:

a) [(– 3)4]3

b) [(2/5)-1]-2

c) [(34)4]4

ver resposta

• Questão 2

Calcule o valor das expressões:

a) 25 . 105. 20-3

b) (82: 22. 43)10

c) 5-2. 5-2 : 58. 5-5

ver resposta

• Questão 3

(UFMA) Qual o valor numérico da expressão abaixo?

35-1 . 40-1 . 102 . 5 . 100

       23 . 14-1 . 5 . 25       

ver resposta

• Questão 4

(MACK) Para x = 4, qual o valor de [(x-2)2 + x½ . x-3] : x-5 ?

   

        . Questão 5

ver resposta

Simplifique a expressão:

.Questão 6

ver resposta

       Supondo que x ≠ 0 e y ≠ 0, simplifique a expressão (x-2)1 + (y2)-1 + 2(xy1)-1:

. Questão 7

ver resposta

·             ( MACK)  é igual a :

a) 3150

    17

b) 90

c) 1530

     73

d) 17

 3150

e) – 90